logika matematika

LOGIKA MATEMATIKA adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari tentang cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan dan cara menarik kesimpulan dari beberapa pernyataan yang diberikan.

A.    KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT TERTUTUP

1.      Kalimat Terbuka

Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung variabel atau pengganti.

Contoh : x + 5 = 9

Dia anak yang cantik

2.      Kalimat Tertutup

Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah dapat ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat tertutup disebut juga pernyataan karena telah memiliki nilai kebenaran (bisa benar atau salah saja)

Contoh : 2 + 3 = 5

Besok hari jumat

Keterangan:

Suatu kalimat disebut “pernyataan” jika kalimat tersebut dapat dinyatakan secara jelas, tegas, dan dapat ditentukan nilai kebenarannya secara pasti oleh semua orang bukan sebagian orang saja.

LATIHAN 1 (PERNYATAAN):

Tentukan kalimat manakah di bawah ini yang merupakan pernyataan dan bukan pernyataan!

1.      Besok akan turun hujan

2.      5 + 3 < 2

3.      5 adalah bilangan ganjil

4.      Log ab = log a + log b

5.      Bulan Juli ada 31 hari

6.      Dimana rumahmu?

7.      (a + b)² = a² + 2ab + b²

8.      Roti itu manis sekali

9.      Matematika adalah pelajaran yang membosankan

10.  Matahari terbenam di sebelah Barat

(note : jawab di buku latihan)

B.     NOTASI DAN NILAI KEBENARAN SUATU PERNYATAAN

Ø  Dalam logika matematika, suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil, seperti : p, q, r, ... dst

Misalnya pernyataan “ 5 + 4 = 9 “ dan pernyataan “ ikan bernapas dengan paru-paru “ dapat dinotasikan berturut-turut sebagai

p : 5 + 4 = 9

q : ikan bernapas dengan paru-paru

Ø  Jika pernyataan itu bernilai “benar” disimbolkan dengan B, dan jika “salah” disimbolkan dengan S.

Ø  Sedangkan, notasi yang digunakan untuk menyatakan nilai kebenaran adalah  (baca : tau)

Contoh :

, (baca: nilai kebenaran pernyataan p adalah benar)

, (baca: nilai kebenaran pernyataan q adalah salah)

Ø  Dalam menentukan nilai kebenaran, ada 2 aturan yang berlaku, yaitu :

1.      Dasar empiris

Yaitu menentukan nilai benar atau salah dari suatu pernyaataan berdasarkan fakta yang sudah ada / tidak perlu dibuktikan lagi.

Contoh :

Pernyataan	Nilai kebenaran
p : Jakarta adalah ibukota Indonesia q : Manusia bernapas dengan paru-paru r : Pancasila ada 6 s : Becak adalah kendaraan beroda 4	B B S S

2.      Dasar tak empiris

Yaitu menentukan nilai benar atau salah dari suatu pernyaataan dengan perhitungan matematis / pembuktian

Contoh :

Pernyataan	Nilai kebenaran
p : q : akar-akar PK  adalah 1 dan -2	B S

Pembuktian:

C.    INGKARAN DAN NEGASI

v  Ingkaran atau negasi adalah penyangkalan dari pernyataan awal.

v  Cara menyangkal pernyataan awal adalah dengan dengan menambahkan kata “tidak benar bahwa”, “tidak”, atau “bukan” pada pernyataan awal.

v  Karena adanya penyangkalan terhadap pernyataan awal, maka akan mengubah nilai kebenaran awal.

v  Notasi dari ingkaran/negasi adalah “.

Misal :  dibaca “negasi dari pernyataan p”

v  Kesimpulan:

P
B S	S B

v  Contoh soal:

Tentukan negasi beserta nilai kebenarannya!

1.      p : 100 habis dibagi 2

2.      q : 50 adalah bilangan ganjil

jawab:

1.        p : 100 habis dibagi 2 ;

 : tidak benar bahwa 100 habis dibagi 2 ;

 : 100 tidak habis dibagi 2 ;

 : 100 habis dibagi bukan 2;

2.        q : 50 adalah bilangan ganjil

 :

 :

 :

LATIHAN 3 ( NEGASI / INGKARAN)

Tentukan ingkaran atau negasi dari pernyataan berikut serta tentukan nilai kebenarannya!

1.      2 adalah bilangan genap

2.     

3.      Persamaan   memiliki dua akar kembar

4.      Jumlah akar-akar dari  adalah 5

5.       mempunyai dua akar real dan berlainan

(note : jawab di buku latihan)

D.    PERNYATAAN MAJEMUK DAN NILAI KEBENARAN

      Pernyataan majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih pernyataan sederhana.

      Pernyataan majemuk dicirikan oleh adanya kata perangkai yang menggabungkan pernyataan-pernyataan sederhana.

      Kata perangkai yang biasa digunakan antara lain :

1.      Dan                     3. Jika ... maka ...

2.      Atau                    4. Jika dan hanya jika ...

Kata perangkai	notasi	Nama dalam Logika matematika
Dan		Konjungsi
Atau		Disjungsi
Jika ... Maka ...	Þ	Implikasi
Jika dan hanya jika ...	Û	Biimplikasi

1.      KONJUNGSI /  / DAN

      Konjungsi merupakan salah satu bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan kata perangkai “dan”.

      Konjungsi dari dua pernyataan sederhana p dan q dinotasikan sebagai  , dibaca “ p dan q”

      Suatu konjungsi akan bernilai “benar” jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai “benar”, sedangkan jika salah satu atau kedua pernyataan pembentuknya bernilai “salah” maka konjungsi tersebut bernilai “salah”.

      Tabel kebenaran konjungsi

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	S

berdasarkan tabel di atas, maka nilai kebenaran konjungsi adalah “BSSS”

      Contoh :

Diketahui             p : 5 lebih dari 2 ;

q : 5 kurang dari 7 ;

nyatakan bentuk logika berikut ke dalam kalimat serta tentukan nilai kebenarannya!

a.      

b.       

Jawab:

a.   : 5 lebih dari 2 dan 5 kurang dari 7

.

b.   : 5 kurang dari 7 dan 5 tidak lebih dari 2

.

LATIHAN 4 ( KONJUNGSI )

1.      Diketahui             p : hari ini hujan deras

q : hari ini alliran listrik terputus

nyatakan bentuk logika berikut kedalam kalimat!

a.                                 c. ~q  p

b.                               d. ~q  ~p

2.      Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

a.        dan

b.      5 adalah bilangan prima dan 5 habis dibagi 3

c.        dan

3.      Diketahui p : Budi rajin belajar

q : Budi naik kelas

nyatakan kalimat berikut kedalam bentuk logika matematika!

a.       Budi rajin belajar dan Budi naik kelas

b.      Budi tidak naik kelas dan Budi rajin belajar

c.       Budi naik kelas dan Budi tidak rajin belajar

d.      Budi tidak rajin belajar dan Budi tidak naik kelas

4.      Lengkapi tabel kebenaran berikut!

p	q				~q  p	~q  ~p
B	B
B	S
S	B
S	S

(note: kerjakan di buku latihan)

2.      DISJUNGSI /  / ATAU

      Disjungsi merupakan salah satu bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan kata perangkai “atau”.

      Disjungsi dari dua pernyataan sederhana p dan q dinotasikan sebagai  , dibaca “ p atau q”

      Suatu Disjungsi akan bernilai “salah” jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai “salah”, sedangkan jika salah satu atau kedua pernyataan pembentuknya bernilai “benar” maka Disjungsi tersebut bernilai “benar”.

      Tabel kebenaran Disjungsi

p	q
B	B	B
B	S	B
S	B	B
S	S	S

berdasarkan tabel di atas, maka nilai kebenaran disjungsi adalah “BBBS”.

      Contoh soal:

Diketahui         p :

q : Yogyakarta adalah kota pendidikan

nyatakan bentuk logika berikut ke dalam kalimat!

a.       ~q  p

b.               

Jawab:

LATIHAN 5 (DISJUNGSI)

1.      Diketahui p : Mahasiswa berdemonstrasi

q : Lalu lintas macet

nyatakan bentuk logika berikut ke dalam kalimat!

                           c. ~q  p

                           d. ~q  ~p

2.      Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan berikut!

a.       2 adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima

b.      Salah satu akar persamaan kuadrat  adalah -4 dan

c.        atau

3.      Diketahui p : hari ini hujan

q : udara dingin

nyatakan kalimat berikut ke dalam bentuk logika matematika!

a.       Udara dingin atau hari ini hujan

b.      Hari ini tidak hujan atau udara dingin

c.       Udara tidak dingin atau hari ini hujan

d.      Hari ini hujan atau udara tidak dingin

4.      Lengkapi tabel kebenaran berikut!

P	q				~q  p	~q  ~p
B	B
B	S
S	B
S	S

PENERAPAN DARI KONJUNGSI DAN DISJUNGSI

     Rangkaian seri dan paralel merupakan salah satu contoh penerapan dari konjungsi dan disjungsi

a.      Rangkaian Seri

	Saklar	Lampu
1	Tertutup	Hidup
0	Terbuka	Mati

p	q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Note : prinsip rangkaian seri = konjungsi

b.      Rangkaian Paralel

                                                                                                                       

3.      IMPLIKASI / Þ / JIKA ... MAKA ...

   Implikasi atau pernyataan bersyarat merupakan bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan kata perangkai “jika ... maka ...”.

   Bentuk implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan sebagai

p Þ q

                   Dibaca : “ Jika p maka q”

   p disebut penyebab, dan q disebut akibat.

   Pernyataan implikasi bentuk p Þ q memiliki nilai kebenaran “salah” jika penyebab (p) benar dan akibat (q) salah.

   Tabel Kebenaran Implikasi p Þ q

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	B
S	S	B

berdasarkan tabel di atas, maka nilai kebenaran disjungsi adalah “BSBB”.

   Bentuk  juga dapat dibaca sebagai:

a.       Jika p maka q

b.      p hanya jika q

c.       p syarat cukup bagi q

d.      q syarat perlu bagi p

e.       q jika p

   Contoh:

Diketahui     p : Harga BBM naik ;

 q  : Ongkos naik ;

nyatakan bentuk berikut dalam kalimat serta tentukan nilai kebenarannya!

a.                         c.

b.                        d.  

Jawab:

a.        : Jika Harga BBM naik maka Ongkos naik

.

.

4.      BIIMPLIKASI / Û / JIKA DAN HANYA JIKA ...

   Pernyataan majemuk yang berbentu p biimplikasi q mempunyai makna : 1)

 2)

sehingga biimplikasi sering disebut implikasi dua arah.

  

p Û q

Pernyataan biimplikasi dari dua pernyataan p dan q dinotasikan sebagai               

dibaca : “p jika dan hanya jika q”

   Suatu implikasi memiliki nilai kebenaran “benar” jika kedua pernyataan pembentuknya mempunyai nilai kebenaran yang “sama”.

   Tabel kebenaran Biimplikasi p Û q

p	q
B	B	B
B	S	S
S	B	S
S	S	B

berdasarkan tabel di atas, maka nilai kebenaran disjungsi adalah “BSSB”.

   Contoh :

Diketahui   p : Bogor hujan deras ;

q : Jakarta banjir ;

nyatakan bentuk logika berikut ke dalam kalimat serta tentukan nilai kebenarannya!

a.                            c.

b.                         d.

Jawab:

a.        : Bogor hujan deras jika dan hanya jika Jakarta banjir. .

b.       

LATIHAN 7 (implikasi dan biimplikasi)

1.    Lengkapi tabel kebenaran berikut!

p	q
B	B
B	S
S	B
S	S

2.    Tentukan nilai kebenaran dari pernyataan majemuk di bawah ini!

a.  Jika

b.  Jika  maka cos 30⁰=

c.   jika dan hanya jika

d.  mempunyai akar real jika dan hanya jika  mempunyai akar real.

3.    Jika p benar, q salah, dan r salah, tentukan nilai kebenaran dari bentuk-bentuk logika berikut!

a.                                  f. (p

b.                                     g. (p

c.                          h. p q

d.                      i. ( q)

e.    (p

E.     EKUIVALENSI /

v Dua pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika matematika jika memiliki nilai kebenaran sama.

v Beberapa bentuk logika yang ekuivalen

a.    Hukum komutatif

1)     

2)     

b.    Hukum assosiatif

1)     

2)     

c.    Hukum distributif

1)     

2)     

d.   Hukum de morgan

1)     

2)     

3)     

v Pembuktian: (dengan tabel kebenaran)

v Contoh soal:

A.    Tentukan negasi dari pernyataan majemuk berikut!

1.    Joni rajin dan pandai

Negasi:

2.    Siska pergi ke Bali atau Silvi pergi ke Jakarta

Negasi:

3.    Jika Rudi belajar maka nilainya bagus

Negasi:

B.     Nyatakan bentuk logika di bawah ini dalam bentuk yang paling sederhana dengan menggunakan notasi  atau

1.   

2.   

3.   

F.   TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, KONTINGENSI

Suatu pernyataan majemuk berdasarkan nilai kebenarannya dapat dibedakan menjadi 3 macam, yaitu: Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi.

1.      Tautologi

Ø Yaitu tipe pernyataan majemuk yang semua nilai kebenarannya adalah benar

Ø Contoh:

p	Q
B	B
B	S
S	B
S	S

2.      Kontradiksi

Ø Yaitu tipe pernyataan majemuk yang semua nilai kebenarannya adalah salah

Ø Contoh :

P	q

3.      Kontingensi

Ø  Yaitu tipe pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya ada yang benar dan ada yang salah (campuran)

Ø  Contoh :

p	q	r

LATIHAN 8 (ekuivalensi, tautologi, kontradiksi, kontingensi)

1.      Dengan menggunakan sifat-sifat keekuivalenan, buktikan pernyataan-pernyataan berikut!

a.      

b.     

c.      

d.     

2.      Tentukan di antara pernyataan-pernyataan berikut yang termasuk tautologi, kontradiksi, dan kontingensi!

a.      

b.     

c.      

d.     

G.    KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI

      Misalnya diberikan pernyataan berbentuk implikasi . Dari implikasi tersebut dapat dibentuk pernyataan baru sebagai berikut:

1.      Konvers

Yaitu pernyataan yang berbentuk  (mempertukarkan implikasi awal)

2.      Invers

Yaitu pernyataan yang berbentuk  (menegasikan implikasi awal)

3.      Kontraposisi

Yaitu pernyataan yang berbentuk  (menukarkan lalu menegasikan pernyataan awal)

      Hubungannya dapat dituliskan antara lain:

Implikasi       :

Konvers        :

Invers            :

Kontraposisi  :

      Tabel kebenaran implikasi, konvers, imvers, dan kontraposisi

P	q

      Kesimpulan:

Implikasi ekuivalen dengan kontraposisi

.

Konvers ekuivalen dengan invers

.

      Contoh soal:

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari bentuk implikasi berikut!

a.       Jika matahari tidak bersinar maka hari hujan

b.      Jika dua garis sejajar, maka keduanya tidak berpotongan

c.       Jika saya tidak punya uang, maka saya tidak akan ke pasar

d.     

Jawab:

a.       p : matahari tidak bersinar

q : hari hujan

Implikasi :

Jika matahari tidak bersinar maka hari hujan

Konvers :

Jika hari hujan maka matahari tidak bersinar

Invers :

Jika matahari bersinar maka hari tidak hujan

 Kontraposisi  :

Jika hari tidak hujan maka matahari bersinar.

b.      p :

q :

implikasi :

c.       p :

q :

implikasi :

LATIHAN 9 (implikasi, konvers, invers, dan kontraposisi)

Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan- pernyataan  berikut :

1.      Jika x² – 4 £ 0 maka -2 £ x £ 2   

2.      Jika a = 30⁰  maka sin a =

3.      Jika segitiga ABC sama sisi maka segitiga ABC sama kaki

4.      Jika harga BBM naik maka  harga kebutuhan sehari-hari naik

5.      Jika x ¹ 1 maka x² – 6x + 5 = 0

(note: jawab di buku latihan)

H.    PERNYATAAN BERKUANTOR

v Def: kuantor adalah suatu ungkapan untuk menyatakan “berapa banyak”.

v Kuantor terbagi 2, yaitu:

1.    Kuantor Universal

Notasi :

Dibaca : semua / setiap / seluruh

Notasi dalam pernyataan:

arti : untuk semua x berlaku p(x)

contoh :

semua siswa menganggap matematika sukar

           x                     p(x)

2. Kuantor Eksistensial

Notasi :

Dibaca : beberapa / ada / sebagian

Notasi dalam pernyataan:

arti : ada x berlaku p(x)

contoh :

sebagian siswa x.1 datang terlambat

                  x                p(x)

v Ingkaran atau negasi pernyataan berkuantor

Pernyataan berkuantor	Negasinya

v Contoh: tentukan negasi / ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut!

1.      Semua hewan adalah karnivora

2.      Ada tanaman tidak berdaun

Jawab:

LATIHAN 10 (Pernyataan berkuantor)

Nyatakan pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan kuantor universal atau eksistensial, serta tentukan negasinya!

a.       Ada burung yang tak bisa terbang

b.      Semua pesawat udara dapat terbang tinggi

c.       Beberapa siswa SMA berambut gondrong

d.      Semua orang kaya hidupnya tidak bahagia

e.       Ada bilangan real x yang memenuhi x²+4=0

I.       PENARIKAN KESIMPULAN

¶  Kesimpulan adalah hasil pemikiran yang merupakan inti dari seluruh pernyataan yang diberikan

¶  Penarikan kesimpulan dapat dilakukan dengan cara membandingkan dua buah pernyataan yang memiliki relasi atau hubungan berdasarkan aturan yang sah.

¶  Dalam penarikan kesimpulan ada beberapa istilah:

a.       Premis            : pernyataan-pernyataan yang dibandingkan

b.      Konklusi        : kesimpulan yang ditarik dari premis-premis

c.       Argumen        : gabungan semua premis lengkap dengan konklusinya

¶  Prinsip penarikan kesimpulan adalah

Premis (1)           : P₁

Premis (2)           : P₂

Premis (3)           : P₃

Premis (4)           : P₄

\Konklusi         : K

¶  Penarikan kesimpulan dikatakan sah jika “semua premis dihubungkan dengan konjungsi () lalu diimplikasikan (Þ) dengan konklusi menghasilkan Tautologi”.

 bertipe tautologi.

¶  Ada 3 aturan yang sah dalam menarik kesimpulan, yaitu :

1)      Modus Ponens                         2) Modus Tolens               3) Silogisme

                                                            

                                                                            

\K  : q                                          \K:                           \K:

Contoh:

Tentukan kesimpulan dari premis-premis dibawah ini

a.       Jika Budi rajin maka ia akan naik kelas

Budi rajin belajar                              

b.      Jika hari libur maka Ali rekreasi       

Ali tidak rekreasi                              

c.       Jika x bilangan real maka x² ³ 0                   

Jika x² ³ 0 maka (x² + 1) > 0            

Jawab:

a.   Jika Budi rajin maka ia akan naik kelas   

Budi rajin belajar                                      

    \ Budi akan naik kelas

b.  Jika hari libur maka Ali rekreasi               

Ali tidak rekreasi                                                  

    \Ali tidak libur               

c.       Jika x bilangan real maka x² ³ 0

Jika x² ³ 0 maka (x² + 1) > 0                                          

      \jika x bilangan real maka (x² + 1) > 0 

       

        LATIHAN 11 (Penarikan Kesimpulan)

1.   Tentukan kesimpulan dari premis-premis berikut

      a.  P₁ :      jika suatu bilangan habis dibagi 2 maka bilangan itu bilangan genap

     P₂ :      14 habis dibagi 2

b.  P₁ :      jika hari hujan maka tanah basah

     P₂ :      tanah tidak basah

c.  P₁ :      jika rusuk kubus panjangnya a maka luas sebuah sisi kubus a²

     P₂ :      jika luas sebuah sisi kubus a² maka volume kubus a³

2.   Tuliskan premis yang belum diketahui dari penarikan kesimpulan berikut

a.  P₁ :      jika harga BBM naik maka harga barang naik

     P₂ :      .....................................................................................................

   

          \Harga BBM tidak naik

b.  P₁ :      jika x² – 4 x + 3 = 0 maka (x – 1) (x -3) = 0

     P₂ :      .....................................................................................................

   

        \jika x² – 4x + 3 = 0, maka x = 1 atau x = 3

3.   Tentukan sah dan tidaknya argumentasi-argumentasi berikut

a.  P₁ :      jika hari hujan maka Mulyadi sakit

     P₂ :      Mulyadi tidak sakit

 

             \Hari tidak hujan

b.  P₁ :      jika x < 0 maka x bukan bilangan positif

     P₂ :      x > 0

   

         \x bilangan positif

c.  P₁ :      jika Yanuar seorang penyair maka ia miskin

     P₂ :      Yanuar seorang penyair

   

           \Yanuar miskin