LOGIKA
MATEMATIKA adalah cabang ilmu matematika yang mempelajari
tentang cara menentukan nilai kebenaran suatu pernyataan dan cara menarik
kesimpulan dari beberapa pernyataan yang diberikan.
A. KALIMAT TERBUKA DAN KALIMAT TERTUTUP
1. Kalimat
Terbuka
Kalimat terbuka adalah kalimat yang belum dapat
ditentukan nilai kebenarannya karena masih mengandung variabel atau pengganti.
Contoh : x + 5 = 9
Dia anak yang cantik
2. Kalimat
Tertutup
Kalimat tertutup adalah kalimat yang sudah dapat
ditentukan nilai kebenarannya. Kalimat tertutup disebut juga pernyataan karena
telah memiliki nilai kebenaran (bisa benar atau salah saja)
Contoh : 2 + 3 = 5
Besok hari jumat
Keterangan:
Suatu kalimat disebut “pernyataan” jika kalimat
tersebut dapat dinyatakan secara jelas, tegas, dan dapat ditentukan nilai
kebenarannya secara pasti oleh semua orang bukan sebagian orang saja.
LATIHAN 1 (PERNYATAAN):
Tentukan kalimat manakah di bawah ini yang merupakan
pernyataan dan bukan pernyataan!
1. Besok
akan turun hujan
2. 5
+ 3 < 2
3. 5
adalah bilangan ganjil
4. Log
ab = log a + log b
5. Bulan
Juli ada 31 hari
6. Dimana
rumahmu?
7. (a
+ b)2 = a2 + 2ab + b2
8. Roti
itu manis sekali
9. Matematika
adalah pelajaran yang membosankan
10. Matahari
terbenam di sebelah Barat
(note : jawab di buku latihan)
B. NOTASI DAN NILAI KEBENARAN SUATU PERNYATAAN
Ø Dalam
logika matematika, suatu pernyataan dinotasikan dengan huruf kecil, seperti :
p, q, r, ... dst
Misalnya pernyataan “ 5 + 4 = 9 “ dan pernyataan “
ikan bernapas dengan paru-paru “ dapat dinotasikan berturut-turut sebagai
p : 5 + 4 = 9
q : ikan bernapas dengan paru-paru
Ø Jika
pernyataan itu bernilai “benar” disimbolkan dengan B, dan jika “salah”
disimbolkan dengan S.
Ø Sedangkan,
notasi yang digunakan untuk menyatakan nilai kebenaran adalah (baca : tau)
Contoh :
, (baca: nilai
kebenaran pernyataan p adalah benar)
, (baca: nilai
kebenaran pernyataan q adalah salah)
Ø Dalam menentukan nilai kebenaran, ada 2 aturan yang
berlaku, yaitu :
1. Dasar
empiris
Yaitu menentukan nilai benar atau salah dari suatu
pernyaataan berdasarkan fakta yang sudah ada / tidak perlu dibuktikan lagi.
Contoh :
Pernyataan
|
Nilai kebenaran
|
p : Jakarta adalah
ibukota Indonesia
q : Manusia bernapas
dengan paru-paru
r : Pancasila ada 6
s : Becak adalah
kendaraan beroda 4
|
B
B
S
S
|
2. Dasar
tak empiris
Yaitu menentukan nilai benar atau salah dari suatu
pernyaataan dengan perhitungan matematis / pembuktian
Contoh :
Pernyataan
|
Nilai kebenaran
|
p :
q : akar-akar PK adalah 1 dan -2
|
B
S
|
Pembuktian:
C. INGKARAN DAN NEGASI
v Ingkaran
atau negasi adalah penyangkalan dari pernyataan awal.
v Cara
menyangkal pernyataan awal adalah dengan dengan menambahkan kata “tidak benar
bahwa”, “tidak”, atau “bukan” pada pernyataan awal.
v Karena
adanya penyangkalan terhadap pernyataan awal, maka akan mengubah nilai
kebenaran awal.
v Notasi
dari ingkaran/negasi adalah “.
Misal : dibaca “negasi dari pernyataan p”
v Kesimpulan:
P
|
|
B
S |
S
B
|
v Contoh
soal:
Tentukan negasi beserta nilai kebenarannya!
1. p
: 100 habis dibagi 2
2. q
: 50 adalah bilangan ganjil
jawab:
1. p : 100 habis dibagi 2 ;
: tidak benar bahwa 100
habis dibagi 2 ;
: 100 tidak habis dibagi 2 ;
: 100 habis dibagi bukan 2;
2. q : 50 adalah bilangan ganjil
:
:
:
LATIHAN
3 ( NEGASI / INGKARAN)
Tentukan
ingkaran atau negasi dari pernyataan berikut serta tentukan nilai kebenarannya!
1. 2
adalah bilangan genap
2.
3. Persamaan
memiliki dua akar kembar
4. Jumlah
akar-akar dari adalah 5
5. mempunyai dua akar real dan berlainan
(note : jawab di buku latihan)
D. PERNYATAAN MAJEMUK DAN NILAI KEBENARAN
Pernyataan
majemuk adalah gabungan dari dua atau lebih pernyataan sederhana.
Pernyataan
majemuk dicirikan oleh adanya kata perangkai yang menggabungkan
pernyataan-pernyataan sederhana.
Kata perangkai
yang biasa digunakan antara lain :
1. Dan 3. Jika ... maka ...
2. Atau 4. Jika dan hanya jika ...
Kata perangkai
|
notasi
|
Nama dalam Logika
matematika
|
Dan
|
|
Konjungsi
|
Atau
|
|
Disjungsi
|
Jika ... Maka ...
|
Þ
|
Implikasi
|
Jika dan hanya jika
...
|
Û
|
Biimplikasi
|
1. KONJUNGSI / / DAN
Konjungsi
merupakan salah satu bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan kata perangkai
“dan”.
Konjungsi dari
dua pernyataan sederhana p dan q dinotasikan sebagai , dibaca “ p dan q”
Suatu konjungsi akan
bernilai “benar” jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai “benar”, sedangkan
jika salah satu atau kedua pernyataan pembentuknya bernilai “salah” maka
konjungsi tersebut bernilai “salah”.
Tabel kebenaran
konjungsi
p
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
S
|
berdasarkan tabel di atas, maka nilai kebenaran
konjungsi adalah “BSSS”
Contoh :
Diketahui p
: 5 lebih dari 2 ;
q : 5 kurang dari 7 ;
nyatakan bentuk logika berikut ke dalam kalimat serta tentukan
nilai kebenarannya!
a.
b.
Jawab:
a. : 5 lebih dari 2 dan 5
kurang dari 7
.
b. : 5 kurang dari 7 dan 5
tidak lebih dari 2
.
LATIHAN
4 ( KONJUNGSI )
1. Diketahui
p : hari ini hujan deras
q
: hari ini alliran listrik terputus
nyatakan
bentuk logika berikut kedalam kalimat!
a. c. ~q p
b. d. ~q ~p
2. Tentukan
nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. dan
b. 5
adalah bilangan prima dan 5 habis dibagi 3
c. dan
3. Diketahui p : Budi rajin belajar
q
: Budi naik kelas
nyatakan
kalimat berikut kedalam bentuk logika matematika!
a.
Budi rajin belajar dan Budi naik
kelas
b.
Budi tidak naik kelas dan Budi
rajin belajar
c.
Budi naik kelas dan Budi tidak
rajin belajar
d.
Budi tidak rajin belajar dan Budi
tidak naik kelas
4. Lengkapi
tabel kebenaran berikut!
p
|
q
|
|
|
|
~q
p
|
~q
~p
|
B
|
B
|
|
|
|
|
|
B
|
S
|
|
|
|
|
|
S
|
B
|
|
|
|
|
|
S
|
S
|
|
|
|
|
|
(note: kerjakan di buku latihan)
2. DISJUNGSI / / ATAU
Disjungsi
merupakan salah satu bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan kata perangkai
“atau”.
Disjungsi dari
dua pernyataan sederhana p dan q dinotasikan sebagai , dibaca “ p atau q”
Suatu Disjungsi
akan bernilai “salah” jika kedua pernyataan pembentuknya bernilai “salah”,
sedangkan jika salah satu atau kedua pernyataan pembentuknya bernilai “benar”
maka Disjungsi
tersebut bernilai “benar”.
Tabel kebenaran Disjungsi
p
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
B
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
berdasarkan
tabel di atas, maka nilai kebenaran disjungsi adalah “BBBS”.
Contoh soal:
Diketahui p
:
q : Yogyakarta adalah kota pendidikan
nyatakan bentuk logika berikut ke dalam kalimat!
a. ~q
p
b.
Jawab:
LATIHAN 5 (DISJUNGSI)
1. Diketahui p : Mahasiswa berdemonstrasi
q
: Lalu lintas macet
nyatakan
bentuk logika berikut ke dalam kalimat!
c. ~q
p
d. ~q ~p
2. Tentukan
nilai kebenaran dari pernyataan berikut!
a. 2
adalah bilangan genap atau 2 adalah bilangan prima
b. Salah
satu akar persamaan kuadrat adalah -4 dan
c. atau
3. Diketahui p : hari ini hujan
q
: udara dingin
nyatakan
kalimat berikut ke dalam bentuk logika matematika!
a. Udara
dingin atau hari ini hujan
b. Hari
ini tidak hujan atau udara dingin
c. Udara
tidak dingin atau hari ini hujan
d. Hari
ini hujan atau udara tidak dingin
4. Lengkapi
tabel kebenaran berikut!
P
|
q
|
|
|
|
~q p
|
~q
~p
|
B
|
B
|
|
|
|
|
|
B
|
S
|
|
|
|
|
|
S
|
B
|
|
|
|
|
|
S
|
S
|
|
|
|
|
|
PENERAPAN
DARI KONJUNGSI DAN DISJUNGSI
Rangkaian
seri dan paralel merupakan salah satu contoh penerapan dari konjungsi dan
disjungsi
a. Rangkaian Seri
|
Saklar
|
Lampu
|
1
|
Tertutup
|
Hidup
|
0
|
Terbuka
|
Mati
|
p
|
q
|
|
1
|
1
|
1
|
1
|
0
|
0
|
0
|
1
|
0
|
0
|
0
|
0
|
Note : prinsip rangkaian seri = konjungsi
b. Rangkaian Paralel
3.
IMPLIKASI
/ Þ
/ JIKA ... MAKA ...
Implikasi
atau pernyataan bersyarat merupakan bentuk pernyataan majemuk yang menggunakan
kata perangkai “jika ... maka ...”.
Bentuk
implikasi dari pernyataan p dan q dinotasikan sebagai
|
p
disebut penyebab, dan q disebut akibat.
Pernyataan
implikasi bentuk p Þ
q memiliki
nilai kebenaran “salah” jika penyebab (p) benar dan akibat (q) salah.
Tabel
Kebenaran Implikasi p Þ
q
p
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
B
|
S
|
S
|
B
|
berdasarkan
tabel di atas, maka nilai kebenaran disjungsi adalah “BSBB”.
Bentuk juga dapat dibaca sebagai:
a.
Jika p maka q
b.
p hanya jika q
c.
p syarat cukup
bagi q
d.
q syarat perlu
bagi p
e.
q jika p
Contoh:
Diketahui p : Harga BBM naik ;
q :
Ongkos naik ;
nyatakan bentuk berikut dalam
kalimat serta tentukan nilai kebenarannya!
a.
c.
b.
d.
Jawab:
a.
: Jika Harga BBM naik maka
Ongkos naik
.
.
4.
BIIMPLIKASI
/ Û
/ JIKA DAN HANYA JIKA ...
Pernyataan
majemuk yang berbentu p biimplikasi q mempunyai makna : 1)
2)
sehingga biimplikasi sering disebut
implikasi dua arah.
|
dibaca : “p jika dan hanya jika q”
Suatu
implikasi memiliki nilai kebenaran “benar” jika kedua pernyataan pembentuknya
mempunyai nilai kebenaran yang “sama”.
Tabel
kebenaran Biimplikasi p Û
q
p
|
q
|
|
B
|
B
|
B
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
S
|
S
|
S
|
B
|
berdasarkan
tabel di atas, maka nilai kebenaran disjungsi adalah “BSSB”.
Contoh
:
Diketahui p
: Bogor hujan deras ;
q : Jakarta banjir ;
nyatakan bentuk logika berikut ke
dalam kalimat serta tentukan nilai kebenarannya!
a.
c.
b.
d.
Jawab:
a. : Bogor hujan deras jika dan hanya jika
Jakarta banjir. .
b.
LATIHAN 7 (implikasi dan biimplikasi)
1.
Lengkapi tabel
kebenaran berikut!
p
|
q
|
|
|
|
|
|
|
B
|
B
|
|
|
|
|
|
|
B
|
S
|
|
|
|
|
|
|
S
|
B
|
|
|
|
|
|
|
S
|
S
|
|
|
|
|
|
|
2.
Tentukan nilai
kebenaran dari pernyataan majemuk di bawah ini!
a. Jika
b. Jika
maka cos 300=
c. jika dan hanya jika
d. mempunyai akar real jika dan hanya jika mempunyai akar real.
3.
Jika p benar, q
salah, dan r salah, tentukan nilai kebenaran dari bentuk-bentuk logika berikut!
a.
f. (p
b.
g. (p
c.
h. p
q
d.
i. ( q)
e.
(p
E. EKUIVALENSI /
v Dua
pernyataan majemuk dikatakan ekuivalen atau setara dalam logika matematika jika
memiliki nilai kebenaran sama.
v Beberapa
bentuk logika yang ekuivalen
a.
Hukum komutatif
1)
2)
b.
Hukum assosiatif
1)
2)
c.
Hukum distributif
1)
2)
d.
Hukum de morgan
1)
2)
3)
v
Pembuktian: (dengan
tabel kebenaran)
v
Contoh soal:
A.
Tentukan
negasi dari pernyataan majemuk berikut!
1. Joni
rajin dan pandai
Negasi:
2. Siska
pergi ke Bali atau Silvi pergi ke Jakarta
Negasi:
3. Jika
Rudi belajar maka nilainya bagus
Negasi:
B.
Nyatakan
bentuk logika di bawah ini dalam bentuk yang paling sederhana dengan
menggunakan notasi atau
1.
2.
3.
F. TAUTOLOGI, KONTRADIKSI, KONTINGENSI
Suatu pernyataan majemuk
berdasarkan nilai kebenarannya dapat dibedakan menjadi 3 macam, yaitu:
Tautologi, Kontradiksi, Kontingensi.
1.
Tautologi
Ø
Yaitu tipe
pernyataan majemuk yang semua nilai kebenarannya adalah benar
Ø
Contoh:
p
|
Q
|
|
|
B
|
B
|
|
|
B
|
S
|
|
|
S
|
B
|
|
|
S
|
S
|
|
|
2.
Kontradiksi
Ø
Yaitu tipe
pernyataan majemuk yang semua nilai kebenarannya adalah salah
Ø
Contoh :
P
|
q
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3.
Kontingensi
Ø Yaitu
tipe pernyataan majemuk yang nilai kebenarannya ada yang benar dan ada yang
salah (campuran)
Ø Contoh
:
p
|
q
|
r
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
LATIHAN 8 (ekuivalensi,
tautologi, kontradiksi, kontingensi)
1.
Dengan menggunakan
sifat-sifat keekuivalenan, buktikan pernyataan-pernyataan berikut!
a.
b.
c.
d.
2.
Tentukan di
antara pernyataan-pernyataan berikut yang termasuk tautologi, kontradiksi, dan
kontingensi!
a.
b.
c.
d.
G. KONVERS, INVERS, DAN KONTRAPOSISI
Misalnya
diberikan pernyataan berbentuk implikasi . Dari implikasi
tersebut dapat dibentuk pernyataan baru sebagai berikut:
1.
Konvers
Yaitu pernyataan yang berbentuk (mempertukarkan implikasi awal)
2.
Invers
Yaitu pernyataan yang berbentuk (menegasikan implikasi awal)
3.
Kontraposisi
Yaitu pernyataan yang berbentuk (menukarkan lalu menegasikan pernyataan awal)
Hubungannya
dapat dituliskan antara lain:
Implikasi :
Konvers :
Invers :
Kontraposisi :
Tabel kebenaran
implikasi, konvers, imvers, dan kontraposisi
P
|
q
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Kesimpulan:
Implikasi ekuivalen dengan
kontraposisi
.
Konvers ekuivalen dengan invers
.
Contoh soal:
Tentukan konvers, invers, dan
kontraposisi dari bentuk implikasi berikut!
a.
Jika matahari
tidak bersinar maka hari hujan
b.
Jika dua garis
sejajar, maka keduanya tidak berpotongan
c.
Jika saya tidak
punya uang, maka saya tidak akan ke pasar
d.
Jawab:
a.
p : matahari
tidak bersinar
q : hari hujan
Implikasi :
Jika matahari tidak bersinar maka
hari hujan
Konvers :
Jika hari hujan maka matahari tidak
bersinar
Invers :
Jika matahari bersinar maka hari
tidak hujan
Kontraposisi
:
Jika hari tidak hujan maka matahari
bersinar.
b.
p :
q :
implikasi :
c.
p :
q :
implikasi :
LATIHAN 9 (implikasi, konvers, invers,
dan kontraposisi)
Tentukan konvers, invers, dan kontraposisi dari pernyataan-
pernyataan berikut :
1.
Jika
x2 – 4 £ 0 maka -2 £ x £ 2
2.
Jika
a = 300 maka sin a =
3.
Jika
segitiga ABC sama sisi maka segitiga ABC sama kaki
4.
Jika
harga BBM naik maka harga kebutuhan
sehari-hari naik
5.
Jika
x ¹ 1 maka x2 – 6x + 5 = 0
(note:
jawab
di buku latihan)
H. PERNYATAAN BERKUANTOR
v
Def: kuantor
adalah suatu ungkapan untuk menyatakan “berapa banyak”.
v
Kuantor terbagi
2, yaitu:
1. Kuantor
Universal
Notasi :
Dibaca : semua / setiap / seluruh
Notasi dalam pernyataan:
arti : untuk semua x berlaku p(x)
contoh :
semua
siswa menganggap matematika sukar
x p(x)
2. Kuantor
Eksistensial
Notasi :
Dibaca : beberapa / ada / sebagian
Notasi dalam pernyataan:
arti : ada x berlaku p(x)
contoh :
sebagian
siswa x.1 datang terlambat
x p(x)
v
Ingkaran atau
negasi pernyataan berkuantor
Pernyataan
berkuantor
|
Negasinya
|
|
|
|
|
v
Contoh: tentukan
negasi / ingkaran dari pernyataan berkuantor berikut!
1.
Semua hewan
adalah karnivora
2.
Ada tanaman
tidak berdaun
Jawab:
LATIHAN
10 (Pernyataan berkuantor)
Nyatakan
pernyataan-pernyataan berikut dengan menggunakan kuantor universal atau
eksistensial, serta tentukan negasinya!
a. Ada
burung yang tak bisa terbang
b. Semua
pesawat udara dapat terbang tinggi
c.
Beberapa siswa
SMA berambut gondrong
d.
Semua orang kaya
hidupnya tidak bahagia
e.
Ada bilangan
real x yang memenuhi x2+4=0
I. PENARIKAN KESIMPULAN
¶
Kesimpulan
adalah hasil pemikiran yang merupakan inti dari seluruh pernyataan yang
diberikan
¶
Penarikan
kesimpulan dapat dilakukan dengan cara membandingkan dua buah pernyataan yang memiliki
relasi atau hubungan berdasarkan aturan yang sah.
¶
Dalam penarikan
kesimpulan ada beberapa istilah:
a.
Premis : pernyataan-pernyataan yang
dibandingkan
b.
Konklusi : kesimpulan yang ditarik dari
premis-premis
c.
Argumen : gabungan semua premis lengkap dengan
konklusinya
¶
Prinsip
penarikan kesimpulan adalah
Premis (1) : P1
Premis (2) : P2
Premis (3) : P3
Premis (4) : P4
\Konklusi :
K
¶
Penarikan
kesimpulan dikatakan sah jika “semua premis dihubungkan dengan konjungsi () lalu diimplikasikan (Þ) dengan konklusi
menghasilkan Tautologi”.
bertipe tautologi.
¶
Ada
3 aturan yang sah dalam menarik kesimpulan, yaitu :
1)
Modus
Ponens 2) Modus
Tolens 3) Silogisme
\K : q \K: \K:
Contoh:
Tentukan kesimpulan dari premis-premis dibawah ini
a.
Jika
Budi rajin maka ia akan naik kelas
Budi rajin belajar
b.
Jika
hari libur maka Ali rekreasi
Ali tidak
rekreasi
c.
Jika
x bilangan real maka x2 ³ 0
Jika x2
³ 0
maka (x2 + 1) > 0
Jawab:
a. Jika Budi rajin maka ia akan naik kelas
Budi
rajin belajar
\ Budi akan naik kelas
b. Jika hari libur maka Ali rekreasi
Ali
tidak rekreasi
\Ali tidak libur
c. Jika x bilangan real maka x2 ³ 0
Jika
x2 ³ 0
maka (x2 + 1) > 0
\jika x bilangan real maka (x2 + 1) > 0
LATIHAN 11 (Penarikan Kesimpulan)
1. Tentukan kesimpulan dari
premis-premis berikut
a. P1 : jika suatu bilangan habis dibagi 2 maka bilangan itu bilangan genap
P2 : 14 habis dibagi 2
b. P1 : jika hari hujan maka tanah basah
P2 : tanah tidak basah
c. P1 : jika rusuk kubus panjangnya a maka luas
sebuah sisi kubus a2
P2 : jika luas sebuah sisi kubus a2 maka volume kubus a3
2. Tuliskan premis yang
belum diketahui dari penarikan kesimpulan berikut
a. P1 : jika harga BBM naik maka harga barang naik
P2
: .....................................................................................................
\Harga
BBM tidak naik
b. P1 : jika x2 – 4 x + 3 = 0 maka (x –
1) (x -3) = 0
P2 : .....................................................................................................
\jika
x2 – 4x + 3 = 0, maka x = 1 atau x = 3
3. Tentukan sah dan tidaknya
argumentasi-argumentasi berikut
a. P1 : jika hari hujan maka Mulyadi sakit
P2 : Mulyadi tidak sakit
\Hari tidak
hujan
b. P1 : jika x < 0 maka x bukan bilangan positif
P2 : x > 0
\x
bilangan positif
c. P1 : jika Yanuar seorang penyair maka ia miskin
P2
: Yanuar seorang penyair
\Yanuar
miskin
Tidak ada komentar:
Posting Komentar